Сабж. В настройках не увидел ничего по этому поводу.

FView, при отправке каждого сообщения нужно ставить галочку в строке "сохранить в отправленных". По другому никак вроде.

так по дефолту нельзя модерам поставить?

На этом движке стандартными средствами низзя. Можно конечно в движок залезть, поправить ручками, но это нужно долго рыться и не всем это нужно.